Platónská tělesa

19. září 2009 | 06.00 |
› 

platonPravidelný mnohostěn je těleso, jehož stěny jsou tvořeny pravidelnými mnohoúhelníky (rovnostranný trojúhelník, čtverec, ...), jichž se v každém vrcholu stýká stejný počet. Pravidelné mnohostěny nazýváme platónská tělesa. Existuje jich právě 5, ačkoliv by se zdálo, že jejich počet může být libovolný. Platónská tělesa znali již ve starověku. Nazývají se podle řeckého filosofa Platóna  (5. – 4. stol př. n. l.), který učinil nauku o pravidelných mnohostěnech součástí svého idealistického názoru. V antickém období se hledáním pravidelných mnohostěnů zabývalo spousta matematiků. Mnohostěny byly občas přiřazovány jednotlivým "živlům", předpokládalo se, že právě takový tvar mají atomy. Podle samotného Platóna se oheň skládal ze čtyřstěnů, vzduch z osmistěnů,, voda z dvacetistěnů a země z krychlí. Obrys světa pak tvořil dvanáctistěn.

Jejich názvy a tvary jsou následující:
tetrahedron

– pravidelný čtyřstěn - Tetraeder (4 vrcholy, 6 hran, 4 rovnostranné trojúhelníky tvořící stěny)

hexahedron

– pravidelný šestistěn - Hexaeder nebo-li Krychle (8 vrcholů, 12 hran, 6 čtverců tvořící stěny)

octahedron

– pravidelný osmistěn - Oktaeder (6 vrcholů, 12 hran, 8 rovnostranných trojúhelníků tvořící stěny)

dodecahedron

– pravidelný dvanáctistěn - Dodekaeder (20 vrcholů, 30 hran, 12 pravidelných pětiúhelníků tvořící stěny)

Icosahedron

– pravidelný dvacetistěn - Ikosaeder (12 vrcholů, 30 hran, 20 rovnostranných trojúhelníky tvořící stěny)

Pátrání po nových mnohostěnech ovšem skončilo v okamžiku, kdy se podařilo dokázat, že kromě 5 známých těles (krychle, čtyřstěn, osmistěn, dvanáctistěn a dvacetistěn) jich už více nemůže existovat. V Platónově škole byl proveden důkaz o počtu pravidelných mnohostěnů.
Eukleides počet platónských těles dokázal následovně. Představte si situaci u vrcholu mnohostěnu. Průmět mnohostěnu do roviny činí 360°, v prostoru ale musejí stěny u vrcholu svírat dohromady menší úhel (aby "směřovaly" k protilehlému vrcholu).
U každého vrcholu mnohostěnu se musejí protínat alespoň 3 stěny - ze dvou ploch není možné vytvořit prostorové těleso.

Pokud stěny našeho pravidelného mnohostěnu představují rovnostranné trojúhelníky (úhel 60°), pak se v každém vrcholu mohou sbíhat buď tři nebo čtyři nebo pět stěn (součty úhlů u vrcholů pak budou 180°, 240° nebo 300°). Šest sbíhajících se stěn už nevyhovuje podmínce "menší než 360°".
V mnohostěnu se čtvercovými stěnami (90°) vyhovuje našim podmínkám pouze útvar se třemi stěnami u vrcholu (3 * 90° = 270°). U stěn tvořených pravidelným pětiúhelníkem (108°) vycházejí jako povolené také pouze 3 stěny u každého vrcholu (3 * 108° = 324°). V pravidelném šestiúhelníku je vnitřní úhel roven 120°, takže se už do naší podmínky nevejdeme ani jednou (3 * 120° = 360°) a totéž platí i pro pravidelné mnohoúhelníky s větším počtem stěn.
Z toho vyplývá, že více než 5 pravidelných mnohostěnů výše uvedených vlastností nemůže v prostoru existovat.

Vzhledem k vysoké symetrii se platónská tělesa objevují běžně v současné krystalografii, krystalochemii a molekulární fyzice a chemii. Řada tvarů krystalů s vysokou symetrií krystalové mřížky nabývá forem platónských těles (např. krystaly běžné kuchyňské soli mají tvar krychle, u sfaleritu někdy tvar čtyřstěnu apod.). Také symetrické molekuly mají mnohdy tvar těchto těles.

Zpět na hlavní stranu blogu

Hodnocení

1 · 2 · 3 · 4 · 5
známka: 1.92 (12x)
známkování jako ve škole: 1 = nejlepší, 5 = nejhorší

Související články

žádné články nebyly nenalezeny

Komentáře