Matematické problémy tisíciletí

28. září 2009 | 06.00 |
› 

Millenium Prize Problems 2Matematikové patří ke stejnému živočišnému druhu jako my všichni. Zabývají se však čím dál více problémy, které však běžným smrtelníkům dávno nejsou zřetelné a to ani pokud se týká vlastního zadání. Tak jako by  připadala starověkým Řekům nepochopitelná a vzdálená myšlenka komplexních čísel nebo neeukleidovských geometrií, nám dnes připadá složitá moderní matematika. Ovšem to, co se řeší v matematice nyní, bude třeba časem považováno za běžnou matematiku 22. století.

Dne  24. 5. 2000 oznámili v přednáškové síni univerzity College de France v Paříži dva přední světoví matematikové, sir Michael Atiyah z Velké Británie a John Tate z USA, že bude vyplacen jeden milion amerických dolarů těm, kteří jako první vyřeší kterýkoli ze sedmi nejtěžších otevřených matematických problémů. Tyto problémy, jak řekli, budou od nynějška nazývány "problémy tisíciletí'' (Millenium Prize Problems). Jsou jakousi obdobou Hilbertových problémů ze začátku 20. století.

Millenium Prize Problems17 milionů dolarů na vyřešení těchto problémů poskytl americký majitel investičních fondů a milovník matematiky Landon Clay, který v roce 1999 založil ve svém domovském městě Cambridge (stát Massachusetts) Clayův matematický ústav (CMI), neziskovou organizaci zaměřenou na propagaci a podporu matematického výzkumu. CMI zorganizoval pařížské zasedání a vzal si na starost organizaci soutěže o ceny tisíciletí. Zmíněných 7 problémů vybírala po několik měsíců skupina mezinárodně uznávaných matematiků, zvolených vědeckou radou CMI pod vedením zakládajícího ředitele CMI, doktora Arthura Jaffeho. Jaffe byl dříve prezidentem Americké matematické společnosti a dnes zastává místo profesora matematiky na Harvardově univerzitě, které sponzoruje Clay. Komise se shodla na tom, že vybrané problémy představují nejzávažnější dosud nezodpovězené matematické otázky. Většina matematiků s tím bude souhlasit. Tyto problémy jsou středem pozornosti hlavních matematických disciplín a zatím úspěšně odolávají jakýmkoli pokusům o zdolání nejlepšími světovými matematiky.

A tady je seznam problémů tisíciletí:

1.) Problém P versus NP
P versus NP je jediný ze 7 problémů tisíciletí, který se týká počítačů. Otázka zní, zda je třída složitosti NP rovna třídě složitosti P. Jinými slovy, zda problémy, pro něž lze jejich řešení ověřit v polynomiálním čase, lze též v polynomiálním čase vyřešit. Všeobecně se soudí, že nikoliv, tedy že existují "těžké" problémy, jejichž řešení nelze nalézt v polynomiálním čase.

2.) Hodgeova domněnka
Hodgeova domněnka se týká topologie a tvrdí, že pro projektivní algebraické variety jsou Hodgeovy cykly racionální lineární kombinací algebraických cyklů.

3.) Poincarého domněnka
Poincarého domněnka se rovněž týká topologie a jako jediná z problémů tisíciletí byla již vyřešena. Důkaz podal roku 2003 Grigorij Perelman; jeho správnost byla potvrzena v srpnu 2006. Domněnka tvrdí, že každý jednoduše souvislý trojrozměrný povrch je ekvivalentní povrchu čtyřrozměrné krychle.

4.) Riemannova hypotéza
Riemannova hypotéza je jediným dosud nevyřešeným problémem z Hilbertova seznamu.Formuloval ji již v roce 1859 Bernhard Riemann. Hypotéza spojuje elegantním způsobem matematickou analýzu a teorii čísel a má hluboký význam pro rozložení prvočísel. Tvrdí, že všechny netriviální nulové body Riemannovy funkce zeta mají reálnou část rovnou 1/2.

5.) Yangova-Millsova teorie a hypotéza hmotnostních rozdílů
Yangovy-Millsovy rovnice popisující chování elementárních částic jsou zobecněnou verzí Maxwellových rovnic. Nejsou však formulovány jako rigorózní matematická teorie, což je právě požadavek tohoto problému tisíciletí. Důležitou součástí této teorie je tzv. hypotéza hmotnostních rozdílů, která se týká předpokládaných řešení Yangových-Millsových rovnic a vysvětlila by mimo jiné, proč mají elektrony hmotnost.

6.) Navierovy-Stokesovy rovnice
Navierovy-Stokesovy rovnice jsou parciální diferenciální rovnice, které popisují proudění kapalin a plynů. Byly formulovány již v 19. století, dosud však není jasné, zda pro dané počáteční podmínky existuje jejich řešení. Úspěšné vyřešení tohoto problému by například přispělo k porozumění turbulencí.

7.) Birchova a Swinnerton-Dyerova domněnka
Tato domněnka tvrdí, že pro jistý typ rovnic existuje relativně jednoduchý způsob, jak určit, zda má daná rovnice konečný nebo nekonečný počet řešení v racionálních číslech. Pro obecné diofantické rovnice bylo důkazem Matijasevičovy věty prokázáno, že nelze dokonce ani určit, zda rovnice má vůbec nějaké řešení.

Matematika se dnes výhradně odehrává v mozcích velkých matematiků a nemá názorné nápomocné propojení s běžnou realitou. Už slyším ty otázky typu: k čemu takové řešení problémů je v praxi vůbec dobré a jak si to mám představit? I v případech, kdy lze načrtnout nějaký obrázek, bude nejspíš ilustrace sice názorná, ale také zavádějící, takže při výkladu je pak třeba nedostatky obrázku nahradit vhodným komentářem. Jak má ale čtenář nematematik takovému komentáři porozumět, když se použitá slova nebudou vztahovat k ničemu, co by znal z každodenní zkušenosti?

Dokonce i pro oddaného příznivce matematiky se tento úkol bude stávat těžším a těžším, jak bude míra abstrakce narůstat a témata diskuse se čím dál více budou vzdalovat reálnému světu. Nezasvěcená osoba dnes nemá šanci se do některých soudobých problémů matematiky možnost zapojit. Nejde o to, že lidská mysl potřebuje čas, aby se sžila s pojmy na nové úrovni abstrakce. Tak tomu bylo vždy. Jde spíše o to, že možná hloubka a rychlost růstu abstrakce dosáhly takové úrovně, že už může stačit jen špičkový odborník.

Před 2500 lety dokázal mladý Pythagorův žák, že druhá odmocnina z čísla 2 není racionálním číslem, takže nejde vyjádřit pomocí zlomku. To znamená, že tehdy číselný obor považovaný za ten pravý (tedy celá čísla a zlomky), nestačí ke změření délky přepony pravoúhlého trojúhelníka, jehož obě odvěsny měří shodně jednu délkovou jednotku. Objev tohoto iracionálního čísla byl pro pythagorejce takový šok, že se jejich matematický výzkum v podstatě zastavil. Postupně však časem matematici našli způsob, jak z toho ven: pozměnili svůj přístup k věci a zavedli reálná čísla. Řekové považovali za základní systém soubor čísel vycházejících z počítání (tedy "přirozená čísla'') a pro účely měření vzdáleností jej rozšířili na bohatší množinu ("racionálních čísel''). Museli tedy uznat podíl dvou přirozených čísel rovněž za číslo. Po zjištění, že racionální čísla na měření vzdáleností nestačí, opustili pozdější matematikové tuto koncepci a prohlásili, že čísla jsou prostě body na přímce! To byla zásadní změna a trvalo další 2 000let, než se podařilo vypracovat všechny související podrobnosti. Teprve koncem devatenáctého století byla dokončena přesná teorie reálných čísel. Ještě i dnes, navzdory jednoduché představě o reálných číslech jakožto o bodech na přímce, je jejich formální (a vysoce abstraktní) definice postrachem pro vysokoškolské studenty.

Podobně se obtížně zaváděla záporná čísla, která si dnes představujeme jako body ležící nalevo od nuly. Jejich zavedení ale matematici odolávali až do poloviny 19. století. Mnozí lidé dnes mají problém s představou komplexních čísel, která obsahují odmocninu ze záporného čísla – přestože je k dispozici jednoduchý intuitivní obraz komplexních čísel jakožto bodů v rovině.

V dnešní době pracuje s reálnými, komplexními a zápornými čísly bez problémů dokonce i mnoho nematematiků. A to přesto, že tato čísla představují vysoce abstraktní koncepty a s počítáním mají jen velmi málo společného, a navzdory tomu, že se v našem každodenním životě s žádnými konkrétními příklady iracionálních reálných čísel nebo s číslem obsahujícím odmocninu z čísla –1 nesetkáváme.

V 18. století způsobil v geometrii odborníkům i nematematikům podobné obrovské koncepční potíže objev existence jiných geometrií než té, kterou popsal Eukleides ve své slavné knize Základy. Myšlenka "neeukleidovských geometrií'' se dočkala obecného přijetí až v devatenáctém století. Ke smíru došlo bez ohledu na to, že náš každodenní svět je výhradně eukleidovský.

S každým novým koncepčním skokem si museli i matematikové zvykat na nové myšlenky a přijmout je za součást celkového obecného rámce, na jehož základech dělají svou práci. Ještě nedávno byla rychlost pokroku v matematice taková, že zaujatý pozorovatel stačil zažít jednu změnu dříve, než přišla další. To se drasticky změnilo. Abychom porozuměli Riemannově hypotéze (tedy prvnímu problému na seznamu), musíme bezpečně ovládat nejen komplexní čísla (a jejich aritmetiku) a pokročilou matematickou analýzu, ale musíme navíc ještě pochopit, jak sečíst nekonečně mnoho (komplexních) čísel a jak mezi sebou nekonečně mnoho (komplexních) čísel vynásobit.

Takové znalosti jsou dnes již téměř výhradně výsadou těch, kdo vystudovali matematiku na univerzitě. Jen oni mohou vnímat Riemannovu hypotézu jako jednoduché tvrzení, asi tak jako průměrný člověk chápe Pythagorovu větu.

podle wikipedie a knihy Keith Devlin: Problémy pro třetí tisíciletí. Sedm největších nevyřešených otázek matematiky

Zpět na hlavní stranu blogu

Hodnocení

1 · 2 · 3 · 4 · 5
známka: 1.58 (33x)
známkování jako ve škole: 1 = nejlepší, 5 = nejhorší

Související články

žádné články nebyly nenalezeny

Komentáře