Jak si vypočítat Ludolfovo číslo?

25. únor 2010 | 06.00 |
› 

piOdvěkou snahou matematiků je co nejpřesnější vyjádření Ludolfova čísla. Ludolfovo číslo je označení čísla π. Jméno získalo podle Holanďana Ludolpha von Ceulen, který už v roce 1596 vypočítal číslo π nejprve na 20 desetinných míst a později v roce 1615 je zpřesnil na 35 desetinných míst. Číslo pí bylo známo dávno. V období antiky (kolem 2000 př. n. l.)  používali Babyloňané k výpočtu zlomek 25/8 = 3,125. V Egyptě byla používaným vztahem hodnota zlomku 22/7 = 3,14285. Přesnou aproximaci čísla pí provedl Archimédés. Pomocí vepsaných a opsaných mnohoúhelníků ke zvolenému kruhu určil, že se nachází v intervalu od 3 +10/71 až 3 + 10/70. Jak jej vyjádřit co nejjednodušeji a přitom s přesností na více desetinných míst?

Ludolph von Ceulen k vyjádření hodnoty pí používal rovněž Archimédovu metodu.Značku π zavedl matematik Leonhard Euler, ale poprvé ji použil v roce 1706 William Jones ve vydání překladu Newtonových spisů.

Rychlý a poměrně přesný výsledek dostaneme pomocí zlomku, který píšeme směrem od čitatele ke jmenovateli:

π = 355/113  = 3,141592

Vztah je známý od roku 1573, kdy jej navrhnul německý matematik a astronom Valentinus Otho (zemřel v Praze roku 1603).

Velkým pokrokem ve vyjádření čísla pí jsou nekonečné řady, které umožňují vypočítat toto číslo s libovolnou přesností. Počet platných desetinných míst závisí na tom, u kterého členu nekonečná řada skončí. Poměrně snadný k vyjádření je Wallisův vzorec:

π = 2 x (2 x 2 x 4 x 4 x 6 x 6 ...)/(1 x 3 x 3 x 5 x 5 x 7...)

K přesnějšímu výsledku se však blížíme i s pomocí kalkulačky velmi pomalu.

Postupně se objevovaly čím dál vhodnější nekonečné řady, které velmi rychle konvergují. Nejprve matematikové trávili lidé počítáním čísla pí často mnoho měsíců. Pokud objevili vhodnou konvergující řadu, byl výpočet snadnější a hlavně rychlejší.

Dnes jim k tomu slouží výkonný počítač, to aby vhodný algoritmus dovedl konvergující řadu ke stále přesnějšímu výsledku. Ovšem zvolená konvergující řada pro počítání na papíru není často vhodná pro zadání do počítače, protože člověk používá desítkovou číselnou soustavu a počítač dvojkovou. Počítačem získaný výsledek musí být nakonec převeden do desítkové soustavy, což tedy trvá podobně velký čas jako samotný vlastní výpočet.

Zpět na hlavní stranu blogu

Hodnocení

1 · 2 · 3 · 4 · 5
známka: 2.2 (40x)
známkování jako ve škole: 1 = nejlepší, 5 = nejhorší

Komentáře

RE: Jak si vypočítat Ludolfovo číslo? zdenda* 26. 02. 2010 - 16:05
RE: Jak si vypočítat Ludolfovo číslo? zdenda* 26. 02. 2010 - 20:05
RE(2x): Jak si vypočítat Ludolfovo číslo? libor 15. 03. 2012 - 12:07
RE(2x): Jak si vypočítat Ludolfovo číslo? normalni clovek 02. 07. 2013 - 10:09
RE: Jak si vypočítat Ludolfovo číslo? caw 11. 03. 2010 - 14:18
RE: Jak si vypočítat Ludolfovo číslo? mha 20. 03. 2010 - 23:12
RE: Jak si vypočítat Ludolfovo číslo? markétka 19. 07. 2010 - 18:46
RE(2x): Jak si vypočítat Ludolfovo číslo? jakub* 12. 10. 2010 - 21:58
RE(2x): Jak si vypočítat Ludolfovo číslo? tom 23. 09. 2015 - 20:11
RE: Jak si vypočítat Ludolfovo číslo? honzah 03. 10. 2010 - 18:25
RE: Jak si vypočítat Ludolfovo číslo? jakub* 12. 10. 2010 - 18:24
RE: Jak si vypočítat Ludolfovo číslo? berysek 14. 03. 2011 - 18:04
RE: Jak si vypočítat Ludolfovo číslo? lenka* 26. 01. 2012 - 10:54
RE: Jak si vypočítat Ludolfovo číslo? ludo balazec 27. 05. 2012 - 14:56
RE: Jak si vypočítat Ludolfovo číslo? františek rak 23. 08. 2012 - 01:38
RE(2x): Jak si vypočítat Ludolfovo číslo? fyzmatik 23. 08. 2012 - 13:08
RE: Jak si vypočítat Ludolfovo číslo? sisa 23. 04. 2013 - 11:06
RE: Jak si vypočítat Ludolfovo číslo? nargiz 05. 05. 2014 - 16:41
RE(2x): Jak si vypočítat Ludolfovo číslo? bagr 27. 04. 2016 - 16:29
RE: Jak si vypočítat Ludolfovo číslo? pepik 71 let 22. 12. 2014 - 15:06
RE: Jak si vypočítat Ludolfovo číslo? werny 05. 04. 2015 - 19:07