Paradox: Achilles a želva

5. říjen 2008 | 06.00 |
› 

Nejstarší známé logické paradoxy sestavil řecký filozof Zénón z ostrova Elea v jižní Itálii. Nejznámějším paradoxem je paradox Achillea a želvy.Tento paradox spolu s dalšími vyslovil v pátém století před naším letopočtem. Chtěl tím dokázat především nemožnost pohybu.

Paradox Achilla a želvy spočívá v následujících úvahách. Achilles má závodit s želvou v běhu na 100 m. Protože je Achilles desetkrát rychlejší než želva, dostane želva desetimetrový náskok. Závod je odstartován a Achilles začíná želvu dohánět. Achilles uběhne 10 m a dostane se do místa, z něhož startovala želva. V tento okamžik urazila želva již jeden metr, takže má před Achillem náskok jednoho metru. Achilles uběhne tuto vzdálenost, ale želva je stále napřed, nyní o 1/10 m. Ve chvíli, kdy Achilles dosáhne i tohoto bodu, je želva o 1/100 m před ním. A tak dále až do nekonečna. Náskok želvy se sice stále zmenšuje, ale želva pořád vede, a tedy Achilles nemůže tento závod vyhrát.

O podobných úvahách, o podstatě prostoru, času a pohybu, debatovala spousta filozofů, ale definitivně byly tyto myšlenkové postupy, které měly dokázat nemožnost pohybu, vyvráceny až s nástupem matematické analýzy v 19. století, která dokázala pochopit pojem nekonečno.
Zenón použil chybného chápání pojmu nekonečna. Součet nekonečně mnoha veličin nemusí být nekonečný, což zajisté věděl i Zenón, ale jeho snahou bylo poukázat na značné potíže v učení pythagorejců.

Zénónův paradox byl vyřešen následovně. Náskok želvy před Achillem tvoří klesající posloupnost:
10, 1, 1/10, 1/100, ...

Tedy řešení tohoto paradoxu souvisí zřejmě s nekonečným součtem:
S = 10 + 1 + 1/10 + 1/100 + ...

Takovéto výrazy se nazývají nekonečné řady a značí se pomocí znaku ∑ .
Numericky nemůžeme samozřejmě všechny členy řady sečíst, ale můžeme tak získat takzvané částečné součty, které tvoří posloupnost tzv. částečných součtů, která hraje v teorii nekonečných řad velmi důležitou roli. Vraťme se k našemu nekonečnému součtu. Nabízí se zásadní otázka může mít nekonečná řada čísel konečný součet. Antičtí filozofové si mysleli, že ne, a proto byl pro ně závod Achilla se želvou paradoxem.

Zkusme ale vynásobit součet S deseti získáme tak následující nekonečný součet:
10S = 100 + 10 + 1 + 1/10 + 1/100 + ...
A nyní obě rovnice odečtěme a získáme tak rovnost:
10S – S = 100
Tedy nekonečná číselná řada má konečný součet:
9S = 100
S = 11,111..
Achilles dohoní v tomto případě želvu po 11 a 1/9 metru.

Zpět na hlavní stranu blogu

Hodnocení

1 · 2 · 3 · 4 · 5
známka: 1.33 (12x)
známkování jako ve škole: 1 = nejlepší, 5 = nejhorší

Komentáře

RE: Paradox: Achilles a želva zuzec 11. 04. 2009 - 19:39
RE: Paradox: Achilles a želva kačka 01. 01. 2010 - 19:11
RE: Paradox: Achilles a želva johnny_cmoud 01. 02. 2010 - 23:56
RE: Paradox: Achilles a želva robur 07. 08. 2010 - 20:38
RE(2x): Paradox: Achilles a želva kuba filozof 30. 03. 2011 - 17:54
RE: Paradox: Achilles a želva ipetrik 09. 11. 2010 - 21:51
RE(2x): Paradox: Achilles a želva kuba filozof 30. 03. 2011 - 17:59
RE: Paradox: Achilles a želva martin* 16. 11. 2010 - 19:57
RE: Paradox: Achilles a želva johnny_cmoud 18. 11. 2010 - 08:47