Paradox: Achilles a želva

Nejstarší známé logické paradoxy sestavil řecký filozof Zénón z ostrova Elea v jižní Itálii. Nejznámějším paradoxem je paradox Achillea a želvy.Tento paradox spolu s dalšími vyslovil v pátém století před naším letopočtem. Chtěl tím dokázat především nemožnost pohybu.

Paradox Achilla a želvy spočívá v následujících úvahách. Achilles má závodit s želvou v běhu na 100 m. Protože je Achilles desetkrát rychlejší než želva, dostane želva desetimetrový náskok. Závod je odstartován a Achilles začíná želvu dohánět. Achilles uběhne 10 m a dostane se do místa, z něhož startovala želva. V tento okamžik urazila želva již jeden metr, takže má před Achillem náskok jednoho metru. Achilles uběhne tuto vzdálenost, ale želva je stále napřed, nyní o 1/10 m. Ve chvíli, kdy Achilles dosáhne i tohoto bodu, je želva o 1/100 m před ním. A tak dále až do nekonečna. Náskok želvy se sice stále zmenšuje, ale želva pořád vede, a tedy Achilles nemůže tento závod vyhrát.

O podobných úvahách, o podstatě prostoru, času a pohybu, debatovala spousta filozofů, ale definitivně byly tyto myšlenkové postupy, které měly dokázat nemožnost pohybu, vyvráceny až s nástupem matematické analýzy v 19. století, která dokázala pochopit pojem nekonečno.
Zenón použil chybného chápání pojmu nekonečna. Součet nekonečně mnoha veličin nemusí být nekonečný, což zajisté věděl i Zenón, ale jeho snahou bylo poukázat na značné potíže v učení pythagorejců.

Zénónův paradox byl vyřešen následovně. Náskok želvy před Achillem tvoří klesající posloupnost:
10, 1, 1/10, 1/100, ...

Tedy řešení tohoto paradoxu souvisí zřejmě s nekonečným součtem:
S = 10 + 1 + 1/10 + 1/100 + ...