Není nekonečno jako nekonečno

7. říjen 2008 | 06.00 |
› 

kolo

Když jsme byli ještě malé děti, často jsme se dohadovali,
kdo z nás zná největší číslo na světě...

Nejdříve padaly tisíce, pak milióny, bilióny či kvadrilióny...
Pak některý ze starších kamarádů přišel s ležatou osmičkou...
Tenkrát jsme mu to moc nevěřili...

Chceme-li se dozvědět, kolik je v určité hromadě předmětů, stačí je jeden za druhým číslovat pomocí přirozených čísel. Takovéto čítání předmětů můžeme použít pouze v případě, že jich je konečně mnoho. Jenže člověk vytvořil matematické nekonečno (to je ta ležatá osmička) a má rád, jestliže jeho matematické operace jsou obdobné, ať jde o situaci v konečnu či nekonečnu.

Nabízí se otázka: "Je možné takto sčítat hromady s nekonečně velkým počtem předmětů?" Ano, pokud se dohodneme na následující definici: Dvě hromady mají stejný počet předmětů, jestliže je možno každému předmětu první hromady přiřadit právě jeden předmět hromady druhé a naopak - předměty tedy beze zbytku navzájem spárujeme. Tyto hromady předmětů pak matematikové nazývají množiny a pokud je spárujeme, pak mají tyto množiny stejnou mohutnost. Podaří-li se každému prvku nekonečné množiny přidat jedno přirozené číslo a současně každému číslu přirozenému právě jeden prvek nekonečné množiny, pak mají obě množiny stejnou mohutnost (stejný počet prvků). Pro tento "počet" byl vymyšlen číslicový symbol, který vyjadřuje mohutnost nekonečné množiny. Je jím hebrejské číslo alef (viz obrázek) s indexem nula aleph_0. Na otázku, kolik je všech přirozených čísel můžeme odpovědět, že alef nula. A pokud najdeme nekonečnou množinu, jejíž prvky lze přirozenými čísly očíslovat, pak o ní řekneme, že má alef nula prvků.

Pro názornost vezmeme množinu všech kladných sudých čísel (2, 4, 6 ... nekonečno). Můžete namítnout, že tato množina je přece poloviční než množina všech přirozených čísel. Je to pravda, je v ní jen každé druhé přirozené číslo. Přesto však můžeme sudá čísla, tak, jak jsou za sebou, beze zbytku očíslovat čísly přirozenými, a nakonec nezbude ani sudé číslo, jemuž by nenáleželo odpovídající číslo přirozené, ani číslo přirozené, jemuž by neodpovídalo žádné číslo sudé. Je tedy mohutnost množiny všech kladných sudých čísel také alef nula, jinými slovy je sudých čísel také alef nula. Že je jich ve skutečnosti 2x méně než přirozených čísel, to nám jen prozrazuje první matematickou zkušenost s "číslem" alef nula: jeho polovina resp. dvojnásobek je zase alef nula.

Podobně lze odvodit další pravidla, jak s alef nula počítat. Pomocí vhodných množin bychom se například přesvědčili, že dokonce alef nula krát alef nula je zase alef nula. Snad se vám bude zdát, že je to totéž, jako když se řekne, že nekonečno krát nekonečno je zase nekonečno. Co by to mělo být jiného, když alef nula je jen jiný výraz pro nekonečno? A zrovna tady je to rozdílné: ony totiž byly nalezeny množiny, které mají taky nekonečně mnoho prvků, ale kde se nám žádným způsobem nepodaří jejich prvky očíslovat přirozenými čísly. Je to třeba množina všech čísel od 0 do 1. Těch je mnohem více než alef nula a pro mohutnost této množiny bylo nutno stanovit další symbol. Je to hebrejské písmeno alef bez indexu. Avšak ani to nestačí a jsou známy jiné množiny mající ještě větší nekonečný počet prvků, máme-li se takto vyjadřovat. Pro jejich mohutnost muselybýt vymyšleny další symboly, a ty vlastně představují další nekonečně velká čísla. Všem těmto číslům říkáme kardinální a dnes už s nimi matematika dovede počítat. Pravidla, podle kterých se tak děje, nejsou ovšem libovolná, ale souvisejí s mohutností odpovídajících nekonečných množin. A tak mi na závěr věřte, že opravdu není nekonečno jako nekonečno a že s ním lze také podle zcela konkrétních zákonů počítat, jako by to bylo číslo. Matematický obor, který se počítáním nekonečen zabývá se nazývá teorie množin.

Zpět na hlavní stranu blogu

Hodnocení

1 · 2 · 3 · 4 · 5
známka: 1.14 (7x)
známkování jako ve škole: 1 = nejlepší, 5 = nejhorší

Související články

žádné články nebyly nenalezeny

Komentáře

RE: Není nekonečno jako nekonečno davidhavel 08. 10. 2008 - 17:35
RE: Není nekonečno jako nekonečno sofie* 14. 11. 2008 - 10:48