Cykloida a brachistochrona

6. leden 2009 | 06.00 |

Cykloida je křivka, která se ve fyzice těší značné pozornosti. Opisuje ji bod na obvodu kola, jestliže se kolo valí po rovině.

S cykloidou se setkáváme i v mnoha dalších fyzikálních situacích. Nejznámější z nich je úloha o brachistochroně. V roce 1696 vyzval Johann Bernoulli k vyřešení úlohy, kdy těleso nacházející se v nějakém bodě, se má spustit po určité trajektorii do níže položeného bodu za nejkratší dobu. Oba body přitom neleží na svislé přímce. Máme najít tvar této trajektorie, která se nazývá řeckým názvem brachistochrona. Brachistos znamená nejkratší, chronos má význam čas. Řešení úlohy zaslalo současně několik známých fyziků - Newton, Leibniz či Jakob Bernoulli. Ukázalo se přitom, že hledaná křivka je právě cykloida. Řešení této úlohy přispělo k rozvoji nového oboru matematiky - variačního počtu.

O cykloidu se pravděpodobně zajímali už ve starověkém Řecku, ale první zmínky pocházejí z 14. a 15. století od filosofů a matematiků Mikuláše Kusánského a Charlese de Bouvelles. Opravdu fascinován byl cykloidou Galileo Galilei, který o ní napsal první spis v r. 1599, kde ji též pojmenoval. Vlastnosti cykloidy podrobně prozkoumal Blaise Pascal, který již těžce nemocen uveřejnil v roce 1658 pod pseudonymem svůj Traktát o cykloidě. V 17. století vzbudila zájem celé řady matematiků a fyziků (Newton, Pascal, Wren, Mersenne) pro své pozoruhodné vlastnosti. "Vědci" si v té době s oblibou zadávali různé soutěže a úkoly a právě ona rivalita přispěla k k rozvoji přírodních věd. Pascalovy poznatky pak využil Huygens při svém studiu pohybu kyvadla. Hyugensovo cykloidální kyvadlo umožnilo značně zvýšit přesnost kyvadlových hodin. Kyvadlo přizpůsobil tak, aby doba kyvu nezávisela na jeho rozkyvu. k tomu právě bylo potřeba, aby hmotný bod neopisoval oblouk kružnice, ale cykloidu. Dosáhl toho tím, že omezil pohyb vlákna v blízkosti upevnění závěsu kyvadla dvěma plíšky, aby si vlákno při větších výchylkách lehalo na plíšky a pak se teprve oddělova ve směru tečny.
Newton nalezl těžiště oblouku cykloidy, architekt Christopher Wren spočítal délku jednoho oblouku – 8r (!!! nezávisí na pí !!!) a Blaise Pascal povrch pod jedním obloukem – ten je roven trojnásobku povrchu kutáleného kruhu, tedy 3 pí r2.
Cykloida se v přírodě a technice objevuje na nečekaných místech a v různých zajímavých souvislostech. Uvedu příklady: vlny na vodě mají tvar cykloidy, s oblibou se využívají cykloidiální ozubená kola v převodovkách, cykloida snese největší zatížení (odhadoval již Galilei), což má využití v mostních a tunelových konstrukcích (nové tunely pražského metra, tunel Mrázovka), dále třeba cykloidiální výřez na carvingových lyžích.

Zpět na hlavní stranu blogu

Hodnocení

1 · 2 · 3 · 4 · 5
známka: 2 (4x)
známkování jako ve škole: 1 = nejlepší, 5 = nejhorší

Související články

žádné články nebyly nenalezeny

Komentáře