Zákon velkých čísel

11. květen 2009 | 06.00 |
› 

panna a orelZákon velkých čísel patří k nejčastěji špatně chápaným výsledkům počtu pravděpodobnosti a statistiky. Historie tohoto zákona začíná u Girolama Cardana (1501 – 1576). Ten tvrdil, že pravděpodobnost některého z možných jevů spojených s výsledky náhodného pokusu je rovna poměru mezi počtem možných výsledků,  ve kterých onen jev nastává, k počtu všech možných výsledků onoho pokusu. Například pravděpodobnost, že při hodu klasickou kostkou padne liché číslo je rovna poměru mezi počtem lichých výsledků (jsou 3) a počtem všech možných výsledků (je jich 6) – tedy  3/6 = ½.

Tato "četnostní definice" pravděpodobnosti vydržela až do třetiny 20. století a pro běžné školní učivo, sázení a další gambleřinu se užívá vlastně dodne. Je to proto, že se v jejím základním schématu nádherně shoduje matematika s realitou. Cardano už zřejmě intuitivně cítil shodu mezi četnostmi a pravděpodobnostmi, proto ji také použil ve své definici. Ale jako matematickou větu ji formuloval až na konci 17. století Jakob Bernoulli (1654 – 1705). Už tehdy v korespondenci tvrdil, že je to tvrzení matematicky jasné, korektní důkaz byl však uveřejněn až po jeho smrti v roce 1713 v knize Ars Conjectandi. Bernoulli ho ještě pojmenoval Zlatá věta, a teprve Samson Denis Poisson (1781-1840) jej vylepšil a dal mu v roce 1835 dodnes užívaný název "Zákon velkých čísel". Od té doby se jím zabývali další slavní matematici a především v první polovině 20. století, kdy se revolučně měnila celá teorie pravděpodobnosti, dostal současnou podobu. Dnes existují 2 verze tohoto zákona, nazývané slabá a silná. Přesný rozdíl mezi nimi ponechme matematikům – obě v podstatě říkají, že za určitých celkem liberálních a formálních předpokladů se při neomezeném opakování náhodného pokusu budou skutečné poměry četností jednotlivých výsledků postupně blížit k jejich pravděpodobnostem.

Mnoha nezávislých hodů mincí musí být relativní četnost a pravděpodobnost hodu "orla" stále bližší. Čím častěji házíme poctivou mincí, tím více se bude podíl "orla" blížit pravděpodobnosti ½  To samozřejmě neznamená, že přesně v polovině hodů padne orel. Naopak může neustále padat panna. Při dvou hodech je pravděpodobnost takového případu ½ . ½ = ¼ , při čtyřech hodech: ½ . ½ . ½ . ½ = 1/16. Pravděpodobnost, že přes platnost zákona velkých čísel četnost orla zůstane nulová se s počtem hodů velmi rychle snižuje. Ale ješte přesvědčivější než nějaký abstraktní matematický důkaz je důkaz vlastní zkušeností: hoďte třeba 1000krát mincí či kostkou, zapisujte si výsledky a vyzkoušejte si jej v praxi sami.

Ze Zákona velkých čísel však nevyplývá, že absolutní počet orlů se musí vždy blížit k teoretické hodnotě.

Zpět na hlavní stranu blogu

Hodnocení

1 · 2 · 3 · 4 · 5
známka: 2.29 (17x)
známkování jako ve škole: 1 = nejlepší, 5 = nejhorší

Komentáře