Matematik na dlažbě

23. květen 2009 | 06.00 |
› 

mozaikaMatematik si všímá problémů prakticky všude  – i na dlažbě. Zajímavé úlohy v počítačové grafice, geometrii, umění i architektuře hrají obrazce (dlaždice – z anglického termínu tiles), ze kterých je možné sestavovat mozaiky beze zbytku vyplňující nějakou předem známou plochu nebo i celou rovinu. S dělením roviny souvisí  právě dlažby. Pokrýt podlahu dlaždicemi stejného tvaru lze různě. Pokud chceme vydláždit rovinu dlaždicemi určitého typu, zjistíme, že takovými dlaždicemi mohou být pravidelné trojúhelníky, čtverce, obdélníky, kosočtverce, šestiúhelníky - ve všech těchto případech stačí dlaždice jediného typu k pokrytí roviny beze zbytku. K pokrytí roviny ovšem nevystačíme např. s pravidelnými pětiúhelníky, k nim musíme přibrat ještě další "doplňkovou" dlaždici – kosočtverec.

Nabízí se otázka, kdy a kolik doplňkových dlaždic potřebujeme, je-li základní dlaždicí např. pravidelný n-úhelník. Zamysleme se například nad symetriemi dlažeb. Dlaždicové vzory se mohou buď opakovat (tj. jsou periodické) resp. mohou být složeny z náhodných či nepravidelných tvarů.  Dlažba ze šestiúhelníků (včelí plást) má šestičetnou rotační symetrii, čili středem libovolného šestiúhelníku lze vést šest os souměrnosti. Má také translační symetrii, tzn. posunutím lze dosáhnout překrytí čar původní a posunuté struktury. Dlažba z pětiúhelníků s doplňkovými kosočtverci má pětičetnou rotační symetrii, avšak nemá symetrii translační, tedy žádným posunutím nelze dosáhnout překrytí čar původní a posunuté struktury,

Speciální formou dlaždic, ležící na pomezí mezi periodickými a nepravidelnými tvary jsou aperiodické vzory, které se sice skládají z konečného množství základních tvarů, ale tyto tvary jsou poskládány takovým způsobem, že se tvar vytvořené mozaiky nikdy neopakuje. Periodickými a aperiodickými vzory se zabývalo mnoho umělců i vědců, mezi jinými i slavný Johannes Kepler.

Dlažby bez translační symetrie se nazývají neperiodické a průkopnické práce o nich publikoval Roger Penrose. Tento vědec a navíc úspěšný spisovatel zkoumal, pomocí jakých základních tvarů je možné vytvořit aperiodické mozaiky, tj. vzory, které se nikde na nekonečné ploše (rovině) neopakují. Zpočátku Penrose používal sadu asi dvanácti základních tvarů (ty se trošku podobaly dnešním puzzle, ale měly rovné hrany), později počet základních tvarů neustále snižoval, až došel k překvapivému závěru – aperiodické mozaiky je možné vytvořit pouze skládáním dvou základních dlaždic. Ty lze získat rozdělením kosočtverce s vnitřními úhly 72° a 108° tak, jak to naznačuje schematický obrázek.

penrose1

Náboženství islám zakazuje portrétování živých bytostí. Odklon od malby živých bytostí vedl islámské umělce k fantastickým výkonům při tvorbě ornamentů. Ornamenty na mešitách tvoří mnohoúhlé, vzájemně do sebe zapadající dlaždice, které se nikdy neopakují v úplně stejných obrazcích. Celý umělecký útvar přesto vytváří dojem zvláštního typu symetrie. Dříve se vědci domnívali, že středověcí umělci své dlaždice vytvářeli jen s pomocí kružítka a zednického pravítka.  Vznik podobných útvarů popisuje tzv. kvazikrystalická geometrie, kterou vysvětlil v moderní době právě Penrose. Jednotlivé dlaždice je možné vytvořit prostými nástroji, ale bylo by velmi složité spojit je k sobě na větších plochách, aniž by došlo k jejich neúmyslnému pokřivení.

Odborníci z amerických univerzit domnívají, že staří umělci znali teorii kvazikrystalické geometrie a že jí využili k vytvoření zvláštních "předloh", podle kterých vytvářeli obrazce na zdech mešit. Ty se skládaly z pěti na sebe navazujících víceúhelníků: desetiúhelníku, pětiúhelníku, kosočtverce, motýlku a šestiúhelníku. Tato metoda se z Blízkého východu posléze rozšířila i do centrální Asie.

Zajímavé dlažby vytvářel též jeden pozoruhodný umělec: M. C. Escher. Prohlížíme-li si pozorně jeho obrazy, nacházíme v nich překvapivé množství matematiky.

Zpět na hlavní stranu blogu

Hodnocení

1 · 2 · 3 · 4 · 5
známka: 1.5 (4x)
známkování jako ve škole: 1 = nejlepší, 5 = nejhorší

Komentáře