Problém Montyho Halla

4. červen 2009 | 06.00 |
› 

Určitě znáte některý z matematických problémů, ve kterém figuruje koza. Připomenu: vlk, koza a zelí se mají přepravit na druhou stranu řeky.... Jenže tohle zvíře vystupovalo v matematickém problému, který byl prezentován na počátku 90. let 20. století v USA v populární show Montyho Halla "Let's Make a Deal". V programu tohoto konferenciéra se mohli diváci zúčastnit soutěže o automobil. Úkol, který měli splnit, byl vcelku jednoduchý. Ve studiu se nacházely troje zavřené dveře. Za jedněmi z nich se skrývalo auto a za dalšími dvěma živé kozy.

Úkolem soutěžícího je zvolit si jedny dveře a postavit se před ně. Poté moderátor otevře jedny ze dvou zbývajících dveří, a ukázal, že je za nimi koza. Načež učinil soutěžícímu nabídku: "Chcete si ponechat výhru za dveřmi, které jste si vybral, nebo svou volbu změníte a vyberete si cenu za posledním zavřenými dveřmi? " Teď má soutěžící možnost buď ponechat svou původní volbu, nebo změnit volbu na zbývající dveře. Soutěžící vyhrává cenu, která je za dveřmi, které si zvolil. Soutěžící nemá žádné předchozí znalosti, které by mu umožnily odhalit co je za dveřmi.

Te´´d se rozhodněte vy: je lepší svou volbu přehodnotit? Nebo je lepší zůstat u původního výběru? A není to vlastně jedno?

Se stejnou otázkou se obrátil jeden ze čtenářů časopisu Parade na Marilyn vos Savant, ženu údajně s nejvyšším IQ na světě. Paní vos Savant odpověděla, že lepší je svou volbu změnit, protože v tom případě je pravděpodobnost výhry 2:3. po tomto článku se rozpoutala obrovská diskuse na internetu i mezi vědci a matematiky. Většina příspěvků tvrdila, že se paní vos Samant mýlí, a že pravděpodobnost u obou voleb je 50 : 50, čili je úplně jedno, zda svoji volbu změníme nebo ne.

Tento problém dostal jméno "problém 3 dveří" nebo také Monty Hallův problém (paradox). O paradox se přesto nejedná, pouze řešení hádanky je neintuitivní.

Paní vos Savant měla pravdu. Jak je to možné? Zkusme se na problém podívat znovu. Soutěžící si vybírá ze 3 dveří, a jen jedny ukrývají výhru (auto). Pravděpodobnost výhry je 1:3. Soutěžící však má na výběr dvě možnosti, jak postupovat dále:

1.

) Soutěžící trvá na své volbě: pravděpodobnost výhry auta je 1:3, protože situace se ničím neliší od případu, kdy by soutěžící žádnou volbu neměl (tipoval by jednu možnost ze tří)

2.) Soutěžící svoji volnu změní: jestliže si původně vybral první kozu, dostane auto. Jestliže si vybral druhou kozu, dostane auto. Jestliže si vybral auto, dostane kozu (první nebo druhou).Vidímě, že ze tří možností 2 vedou k výhře auta. Pravděpodobnost výhry je 2:3.

Co z toho vyplývá? Při trvání na své původní volbě soutěžící vyhraje jen v případě, že si vybral auto. Při změně volby vítězí soutěžící v případě, že si vybral první nebo druhou kozu (2 možnosti) a prohraje jen tehdy, pokud si na počátku vybral auto.

Nejčastější námitka k řešení je názor, že při určování pravděpodobnosti lze z různých důvodů zanedbat minulost. Proto jsou první volba dveří i moderátorova vynucená reakce zanedbány. Protože na výběr zbývají dvoje dveře, mnoho řešitelů dojde k závěru, že pravděpodobnost výhry je padesát na padesát.

Ačkoliv zanedbání minulosti funguje pro některé hry, například hod mincí, není to pravidlem. V našem případě můžeme zanedbat první otevření dveří. Soutěžící volí je mezi původně vybranými dveřmi a zbylou dvojicí – otevření jedněch z nich je pouze úskok. Auto je pouze jedno. Původní volba rozděluje možné umístění auta mezi dveře vybrané soutěžícím (pravděpodobnost 1:3) a zbylou dvojicí (pravděpodobnost 2:3). Je již známo, že alespoň za jedněmi z této dvojice dveří je koza. Odhalení kozy za jedněmi z nich proto nepřidává soutěžícímu žádnou dodatečnou informaci o jím vybraných dveřích. Odhalení nezmění dvoutřetinovou pravděpodobnost toho, že auto je v prostoru dvojice dveří.

Další možný důvod pro zmatení je, že úloha je často zadána jako by moderátor soutěžícího překvapil otevřením dveří a nabídkou změnit původní volbu. Toto může vyvolat dojem, že moderátor se pokouší zmást soutěžícího, který si vybral správně, a že soutěžící neznal pravidla předem. Pokud soutěžící neznal pravidla předem, pravděpodobnost v konkrétním případě se nezmění, avšak soutěžící nemůže provést optimální volbu, neboť dopředu neví, podle kterých pravidel hraje. Proto je nutné v zadání uvést, že moderátor sdělí soutěžícímu pravidla předem.

Vyskytly se spekulace, že jedním z důvodů neintuitivnosti Monty Hallova problému je to, že v podobných situacích očekáváme podvod. Pokud je moderátor podvodník a otevře dveře pouze pokud soutěžící původně zvolil správně, pak by po otevření dveří soutěžící neměl nikdy měnit své rozhodnutí.

Zpět na hlavní stranu blogu

Hodnocení

1 · 2 · 3 · 4 · 5
známka: 0.00 (0x)
známkování jako ve škole: 1 = nejlepší, 5 = nejhorší

Komentáře

RE: Problém Montyho Halla nwm* 19. 03. 2010 - 17:49
RE: Problém Montyho Halla h. 25. 02. 2011 - 17:59