FYZMATIK

Pokud fakta neodpovídají teorii, změňte fakta.

roman Šimon hilscher: Z pohybových rovnic v gravitačním poli Země plynou pro polohu (těžiště) oštěpu rovnice dx/dt=v*cos(z), dy/dt=v*sin(z)-gt, kde v je počáteční rychlost daná oštěpu, z je elevační úhel a g je gravitační zrychlení. Pomocí počátečních podmínek x(0)=0, y(0)=0 (tj. počátek vztažné soustavy je v bodu, kde je oštěp vypuštěn) pak plynou rovnice x(t)=v*t*cos(z), y(t)=v*t*sin(z)-(1/2)*g*(t^2). Uvážíme-li, že atletka vypustí oštěp ve výšce h nad zemí, je v okamžiku dopadu x=R (hledaná maximální hodnota délky hodu) hodnota y=-h. Použití této podmínky, vyjádření t=r/(v*cos(z)) z první rovnice a dosazení do rovnice pro y vede na rovnici R*(v^2)*sin(2z)-g*(R^2)+2*h*(v^2)*(cos(z))^2=0 pro vzdálenost dopadu R. Protože R závisí na elevačním úhlu z a my hledáme max R v závislosti na z, tuto rovnici zderivujeme podle z (derivace implicitní funkce, pozor, je tam také součin) a použijeme nutnou podmínku dR/dz=0 pro max, pak dostaneme maximální hodnotu Rmax=h*tg(2z). Dosazením této maximální hodnoty do předchozí implicitní rovnice za R dostaneme po úpravách (také s použitím goniometrických identit pro dvojnásobný úhel) hodnotu ideálního elevačního úhlu z=(1/2)*arccos(g*h/(g*h+(v^2))). Právě při tomto elevačním úhlu (a při dané výšce h a rychlosti v) dopadne oštěp nejdále a to právě do vypočtené vzdálenosti Rmax. Ověření, že se jedná skutečně o maximum, se provede přes druhou derivaci - bude záporná. Pro hodnoty h=2m, g=9.81m/s^2, v=110km/h=30.56m/s pak dostaneme elevační úhel z=44.4 stupňů a maximální vzdálenost Rmax=97.18m. Toť idealizovaná teorie. (Inspirováno knihou Paul Nahin: When Least is Best, Princeton University Press, 2004, Sekce 5.4)