Fyzmatik | Goldbachova hypotéza

Goldbachova hypotéza je jeden z nejstarších a nejslavnějších nevyřešených problémů matematiky, který patří do oblasti teorie čísel. Německý právník, pruský velvyslanec v Rusku a matematický samouk Christian Goldbach (1690 – 1764), který se v matematice zabýval především teorií čísel, zformuloval roku 1742 v dopise matematiku Eulerovi hypotézu, že každé přirozené číslo n větší než 5 je součtem nejvýše tří prvočísel.

Euler mu obratem odpověděl, že toto tvrzení je stejné s tím, že každé sudé číslo n větší než 2 je součtem dvou prvočísel. Této Eulerově formulaci se dnes říká Goldbachova hypotéza.

Uvedená Goldbachova hypotéza nebyla dodnes, přes nesmírné úsilí mnoha generací matematiků, ani dokázána ani vyvrácena. Mimořádně obtížnými metodami bylo dokázáno jen několik dílčích výsledků.

V roce 1937 dokázal ruský matematik Vinogradov (1891 – 1983) první výsledek:

Existuje číslo n₀ takové, že každé liché n > n₀ je součtem tří prvočísel

Z mimořádně obtížného důkazu však neplynulo, jak velké je to číslo n₀. Odhady ukazovaly, že může být nepředstavitelně velké. Přesto však Vinogradovův výsledek byl zásadním pokrokem: problém byl vyřešen alespoň od jistého, byť neznámého, čísla.

Po téměř dvaceti letech, v roce 1956 dokázal Borodzkin, že Vinogradovovo číslo n₀ nepřevyšuje hodnotu (3³)¹⁵ < 10^{7 000 000} . V roce 1989 posléze dokázali Chen a Wang tuto hodnotu ještě snížit na číslo 10^{43 000}

Částečného pokroku v řešení Goldbachovy hypotézy dosáhl v roce 1930 ruský matematik Šnirelman (1905- 1938), když dokázal, že každé "dostatečně velké" číslo je součtem nejvýše k prvočísel. Jeho metodami však nebylo možno dokázat, jak velké je ono číslo k, odhady ukazovaly hodnotu cca 800 000. Přestože od tohoto Šnirelmanova výsledku bylo k důkazu Goldbachovy hypotézy nesmírně daleko, byl to výrazný přínos, neboť bylo alespoň dokázáno, že sudá čísla jsou součtem takového počtu prvočísel, který nepřesáhne jistou hranici.

Hodnota Šnirelmanova čísla k byla postupně snižována. Prozatím nejlepšího výsledku dosáhl v roce 1995 Ramaré:

"Každé sudé číslo lze vyjádřit jako součet nejvýše šesti prvočísel."

Současně s popsanými teoretickými výsledky probíhalo a nadále probíhá prověřování Goldbachovy hypotézy na počítačích. V roce 1993 potvrdil Sinisalo Goldbachovu hypotézu pro všechna přirozená čísla menší než 4 ×10¹¹. Tuto hodnotu později za pomoci superpočítače Cray C90 a za podpory množství pracovních stanic zvýšili Jean-Marc Deshouillers, Yanick Saouter a Herman Te Riele dokonce na 10¹⁴ . Zatím poslední verifikaci až do hodnoty 4 × 10¹⁴ provedl v říjnu 1998 Joerg Richstein.

Po více než 260 letech pokusů tak Goldbachova hypotéza není dokázána a stále není známo, zda je pravdivá, či ne. Většina matematiků se však kloní k názoru, že tvrzení platí.